【算法题】青蛙跳台阶问题（附过程取模证明）

题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2 输出：2

示例 2：

输入：n = 7 输出：21

提示：
0 <= n <= 100

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof
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解体思路

当n = 0，不跳也算一种方式，故当n 2，可看作一个变形的斐波那契数列，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，可用临时变量保存状态，以非递归的方式实现，而题目要求要对结果取模，且题目标明：0 <= n <= 100，当n的值过大的时候，在PHP中，如果算到最后才对大数取模会出现溢出的情况，得不到正确的答案，因此，需要在在相加的过程中就进行取模操作，最后得出结果相等。

证明在相加过程中不断同余，不影响结果，证明过程：

要证（a+b）%c = （a%c+b%c）%c
即证a+b与a%c+b%c对c同余，则有c能整除(a+b-a%c-b%c)
设a=mc+p b=nc+q
则(a+b-a%c-b%c)=(m+n)c+p+q-p-q=(m+n)c
则证a+b与a%c+b%c对c同余
证毕

证明过程转自：https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof/comments/246016

PHP实现代码

class Solution {
/**
     * @param Integer $n
     * @return Integer
     */
    function numWays($n) {
        if ($n < 2) {
            return 1;
        }
        if ($n == 2) {
            return 2;
        }
        $n1 = 1;
        $n2 = 2;
        for ($i = 3; $i <= $n; $i++) {
            $tmp = $n1 + $n2;
            $n1 = $n2;
            $n2 = $tmp % 1000000007;
        }
        return $n2;
    }
}