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Python排序算法之插入排序及其优化方案详解

2021-06-12 07:04:50 来源:易采站长站 作者:

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Python排序算法之插入排序及其优化方案详解

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一、插入排序

插入排序与我们平时打扑克牌非常相似,将新摸到的牌插入到已有的牌中合适的位置,而已有的牌往往是有序的。

在这里插入图片描述

1.1 执行流程

在这里插入图片描述

(1)在执行过程中,插入排序会将序列分为2部分,头部是已经排好序的,尾部是待排序的。
(2)从头开始扫描每一个元素,每当扫描到一个元素,就将它插入到头部合适的位置,使得头部数据依然保持有序

1.2 逆序对

数组 <2,3,8,6,1> 的逆序对为:<2,1> ❤️,1> <8,1> <8,6> <6,1>,共5个逆序对。
插入排序的时间复杂度与逆序对的数量成正比关系,逆序对的数量越多,插入排序的消耗的时间就越多。
当逆序对的数量极少时,插入排序的效率特别高,甚至速度比 O nlogn 级别的快速排序还要快。

1.3 代码实现

将一个元素插入到数组有序的前半部分中,那个插入的位置元素一定是比该元素大,而该位置前的元素比该元素小(或者是没有前一个元素)。所以我们可以通过比较,将该元素进行冒泡:如果前一个元素比我大,则交换位置,否则停止冒泡。

def insertion_sort_ver1(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        cur=right
        while cur>0 and array[cur-1]>array[cur]:
            array[cur-1],array[cur]=array[cur],array[cur-1]
            cur-=1

整体代码:

import numpy as np
import time

#检查是否有序
def orderCheck(array):
    for i in range(len(array)-1):
        if array[i]>array[i+1]:
            print('排序失败')
            return
    print('排序成功')
    
def sort(sort_algorithm,ori_array):
    #先复制一份数组,再进行更改
    array = np.copy(ori_array)
    start=time.clock()
    sort_algorithm(array)
    end=time.clock()
    total_time=float(end-start)
    print(sort_algorithm.__name__+" : %0.5f" % total_time)
    orderCheck(array)

def insertion_sort_ver1(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        cur=right
        while cur>0 and array[cur-1]>array[cur]:
            array[cur-1],array[cur]=array[cur],array[cur-1]
            cur-=1
            
array=np.random.randint(0,10000,2000,dtype=int)
sort(insertion_sort_ver1, array)

在这里插入图片描述

消耗时间为0.82632秒。

1.4 优化1

在冒泡中,交换前后cur和cur-1位置两个元素的位置,需要进行两次赋值,但如果冒泡仍要继续,cur-1位置的元素还是会被cur-2位置的元素覆盖,所以两次赋值中的一次其实是无意义的,为此我们可以先找到插入位置,然后将后方的元素作统一的移动;或者是在冒泡过程中只进行一次赋值(将前一个元素移动到后方),直到冒泡结束确定插入位置后,再进行待插入元素的插入。

#元素交换作优化
def insertion_sort_ver2(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        cur=right
        elem=array[cur]
        while cur>0 and array[cur-1]>elem:
            array[cur]=array[cur-1]
            cur-=1
        array[cur]=elem

在这里插入图片描述

消耗时间为0.45987秒,明显变快了。

1.5 优化2

之前我们在寻找插入的位置时,采用的是从大到小依次遍历的方法,因为是在一个有序的数组上寻找插入的位置,我们肯定会想到一种查找的方法:二分查找。通过二分查找,我们可以通过O(logn)级别的比较与O(n)级别的元素移动完成排序任务,而之前我们进行的比较和移动,都是O(n)级别。

1.5.1 普通二分查找

普通的二分查找十分简单,根据中间位置元素大小更新两端索引位置即可,在此两端的索引 [left,right)采用左闭右开的方式,这样未查找到元素的条件就十分简单,因为区间左闭右开,当left<right时,表明区间内还有元素,仍旧可以进行查找;否则,区间里没有元素了,说明元素未查找到,代码如下。

def binary_search(array,target):#[left,right)左闭右开
    left=0
    right=len(array)
    while left<right:#当left<right,表明区间中还有值,否则哪怕left==right,因right不可取,区间中还是无值
        middle = (left + right) >> 1
        if target<array[middle]:
            right=middle
        elif array[middle]<target:
            left=middle+1
        else:
            return middle
    return -1

1.5.2 二分查找插入位置

查找插入位置的二分查找显然和普通二分不同,在此我们修改一下左右端点移动的条件与移动方式。在此左右端点依旧左闭右开,如果当array[middle]小于或等于插入元素target,那么显然middle不可能是插入位置,middle位置的元素也不再需要,left应该为middle+1;而当array[middle]大于target,那么middle有可能是插入的位置(插入位置大于target,前一个元素如果存在,应小于target),应该保留middle,所以right=middle。但是区间是左闭右开,right不可取到,哪怕right=middle,middle不还是无法取得吗?但由于array[middle]不论取何值(不管是大于、等于、小于),都将导致左右端点left、right的变化,且数组中左右端点代表区间的大小是不断减小的,最终左右端点重合,此时的位置就是插入的位置。
下面是查找的示例:

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
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在这里插入图片描述

代码如下:

def binary_search(array,index):
    left=0
    right=index
    while left<right:
        middle=(left+right)>>1
        if array[middle]>array[index]:#大于目标,可能是插入的位置,用right保留
            right=middle
        else:#小于等于,不可能是插入位置,更新left为middle+1
            left=middle+1
    return left #最后插入的位置

1.5.3 使用二分的插入排序

找到插入位置后,我们只需移动位置后面的元素,再将元素插入即可。

#利用二分查找找到插入的点,减少了比较的次数
def insertion_sort_ver3(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        index=binary_search(array,right)
        elem=array[right]
        for i in range(right,index,-1):
            array[i]=array[i-1]
        array[index]=elem

在这里插入图片描述

可见速度比之前的插入排序仍有提高。

1.6 时间空间复杂度

最坏、平均时间复杂度:O(n^2),最好时间复杂度:O(n),空间复杂度:O(1)。

1.7 稳定性

插入排序将后方的元素从后往前插入,后边相等的元素将插入在左边相等元素的右侧,没有改变原有的位置,属于稳定排序。

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